高二一道抛物线题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/07 21:17:43
设抛物线方程为x^2=2py(p>0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A,B. 求证A,M,B三点的横坐标成等差数列（不要用导数）

设过M(m,-2p)的切线方程为：y=k(x-m)-2p
代入x^2=2py得：
x^2=2pk(x-m)-4p^2
x^2-2pkx+2pkm+4p^2=0
判别式△=4p^2k^2-4(2pkm+4p^2)=0
pk^2-2mk-4p=0
k1+k2=2m/p,k1k2=-4

x1=pk1,x2=pk2
x1+x2=pk1+pk2=p(k1+k2)=p*2m/p=2m

所以，A,M,B三点的横坐标成等差数列