柯西审敛准则的充分必要性证明

http://www.maths.ox.ac.uk/filemanager/active?fid=2037
Theorem 114和Theorem 116，都有证明，既然你到留学版块里问，英语应该看得懂。

中文还是解释下：
＝》
如果数列(an)收敛，其极限为L，则所有ε > 0，都能找到自然数N，使得|ak − L| < ε/2 ， 所有的k > N。
则，所有的m,n>N，都有：
|am − an| <= |am − L| + |L − an| <ε/2 +ε/2 =ε
所以是柯西数列。

《＝
如果(an)为柯西数列，则数列是有界的（取{|a1|,|a2|....|aN|,|aN|+1}的最大值就是了，很容易看得出）。然后用波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，(an)有个收敛的子数列（ank），然后所以(an)收敛，而且其极限与（ank）一致的。

所以就有了柯西收敛的充要性。

直接使用的了，柯西收敛