朝、起きられないで、遅れた。这句话对吗？

^_^
第一上面这句“朝、起きられないで、遅れた。”是错的。首先，要考虑时态问题。然后再看你是要叙述一个简单的事实还是要个自己“迟到”找借口。
时态：起不来床迟到了。如果是每一天的话，起きられない的时态是正确的，但，后半段变成了过去时，“遅れた”是叙述一件已经过去的事。所以，不正确。

我想你你大概是想说“早上没起来床，所以迟到了。”这句话的表达方式应该为：朝、起きられなかったものだから、遅れてしまいました。
补充说明：这是一句符合中国语法习惯的说法，实际上，日本人并不用起きられない这个词，而是用：“寝坊する”（睡过头）这个动词。

接下来就是你问的这几个表示原因理由的接续词的用法。
顺便提一句，楼上的朋友用的ため，的确是表示一个理由或原因，后面是这个原因导致的一个不好的结果。但“ため”是书面语，不能用在早上没起来床这样的句子中。一般是比较正式的文章中使用。
再来看，你最为关心的，で和くて的区别。
首先で可以表示理由，例如，病気で、学校に行けなかった。 （因为生病，没能去学校。）但，更多的是为了谈话的自然性，日本人常用で来作为一个小的停顿。而ないで就是不是很前调原因和理由，在你上面的句子中只是一个停顿。当然，ないで也有“不去做A这件事，而是作B这件事来代替A”这个用法。例如：用在：学校に行かないで、病院に行って下さい。别去学校，去医院。这样的简单的句子中。
而なくて、表示原因和理由的用法是，一般是表示一个很自然的接续，因为A这件事，所以有了B这件事。而通常的情况下，B这个句子中要包含一些说话人情感的词语。例如： 毎日朝、起きられなくて、本当に悔しいですよ。每天早上我都起不来床，真是让人懊悔呀。
补充说明：通常表示原因的词还有，ので和から，前者表示客观理由并且是礼貌用语，而后者事主观理由，前调说明自己的原因。
^_^，明白了吗？

应该用なくて，没有任何疑问的语法
ないで没有表示原因的意思
也可以用ので

靠 还用问吗? 肯定是なくて
不过日常里一般不这么说,会说 朝寝坊したので、遅れた。

朝、なかなか起きられなかったため、遅れてしまった。

两个都可以,ないで可