递推数列证明

(1)k=1时，1/a[1]+1/a[2]=1/5+1/5=2/5<4/9,不等式成立。
k为大于1的奇数时，
1/a[k]+1/a[k+1]
=1/(3^k+2^k)+1/[3^(k+1)-2^(k+1)]
=[3^(k+1)-2^(k+1)+3^k+2^k]/{(3^k+2^k)[3^(k+1)-2^(k+1)]}
=(4*3^k-2^k)/[3^(2k+1)+2^k*3^k-2^(2k+1)]
<4*3^k/{3^(2k+1)+2^k[3^k-2^(k+1)]}
<4*3^k/3^(2k+1) //因为当k大于1时可以证明3^k>2^(k+1)
=4/3^(k+1)
(2)对于任一n，必有整数m满足n<=2m.那么
1/a[1]+1/a[2]+...+1/a[n]
<=1/a[1]+1/a[2]+...+1/a[2m]
=(1/a[1]+1/a[2])+(1/a[3]+1/a[4])+...+(1/a[2m-1]+1/a[2m]) //每两个一组
<4/9+4/81+...+4/3^(2m) //利用(1)的结果
=4/9+4/81+...+4/9^m
=(4/9){[1-(1/9)^m]/(1-1/9)}
=(1/2)[1-(1/9)^m]
<1/2