3个不同的正整数,它们的积是和的12倍.一共有多少组?写出过程

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abc=12(a+b+c)
不妨设a>=b>=c
先证明c<=6
当b>=c>=7时
49a<=abc=12(a+b+c)<=12(a+a+a)=36a
矛盾！
当c=6时
ab=2(a+b+6)
(a-2)(b-2)=16
又a>=b>=c
所以仅有a=b=c=6
当c=5时
5ab=12（a+b+5)
25ab-60(a+b)-300=0
(5a-12)(5b-12)=444
又(5a-12)>=(5b-12)>=（5c-12）=13
此时无整数解
当c=4时
ab=3(a+b+4)
(a-3)(b-3)=21
所以a-3=7,b-3=3 或a-3=21,b-3=1
a=10 b=6 或a=24 b=4
当c=3时
ab=4(a+b+3)
(a-4)(b-4)=28
a-4=7 b-4=4 或a-4=14 b-4=2 或a-4=28 b-4=1
所以a=11 b=8或a=18 b=6 或a=32 b=5
当c=2时
ab=6(a+b+2)
(a-6)(b-6)=48
a-6=48,24,12,8
b-6=1,2,4,6
所以a=54,30,18,14
b=7,8,10,12
当c=1时
(a-12)(b-12)=156
a-12=156,78,52,39,26,13
b-12=1,2,3,4,6,12
a=168,90,64,51,38,25
b=13,14,15,16,18,24
所以一共有1+2+3+4+6=16组
具体的就在上面写着的