关于整数系数多项式的证明 要过程！！ 急 急！！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/04 03:50:15
1.f(x),g(x),h(x)是整数系数的多项式 满足f(x)＝g(x)h(x)
p是质数，如果p是f(x)所有的系数的约数，证明一下p也是g(x),h(x)的所有系数的约数！！！

2.f(x)是整数系数的多项式 ,有理数系数多项式g(x),h(x)存在，满足f(x)＝g(x)h(x)，这个时候，证明一下整数系数多项式g(x),h(x）存在并满足f(x)＝g(x)h(x)

拜托了 很急的 O(∩_∩)O谢谢
第一道 打错了 最后一句证明一下p也是g(x)或者h(x)的所有系数的约数！！！

1、反证法：
（为表达方便，记a=b(mod c)表示a除以c余数为b,或者说a,b对于c同余）
(原本应该写作三杠的等号)
p是f(x)所有的系数的约数
=>
f(x)可表示为
f(x)=ax^n+bx^(n-1)+....
=(a'*p)x^n+(b'*p)x^(n-1)+...
=p*(a'x^n+b'x^(n-1)+....)
其中a=a'*p,.....且a'....皆为整数
=>
f(x)=0(mod p)
假若题设结论不成立
即
p不是g(x)也不是h(x)的所有系数的约数
=>
g(x)无法表示为g(x)=p*g'(x)（g'中系数皆为整数）
(这一步若要更详细点，再用一次反正假设)
同样的
h(x)也不可
=>
g(x)=Gp不=0(mod p)以及h(x)=Hp不=0(mod p)
=>
g(x)h(x)=Gp*Hp不=0（mod p）
（这一步乘法若需要更详细证明，可用(mp+Gp)*(np+Hp)展开来证）
这与
f(x)=0(mod p)矛盾
=>
题设结论正确
证毕

2、
这道题的原题可以等价的写作一个小定理：
“一个整系数多项式在有理数域上可约的充要条件是在整数域中可约”
1>充分条件
很显然，只要把满足f(x)=g(x)h(x)的整数系数的h(x),g(x)
分别乘以r和1/r就可以得到有理数样式了
（具体的r视情况而定，
最简单的，比如取一个比所有系数都大的素数）

2>必要条件（就是本题所需的证明！！！）
根据题设，已存在有：
f(x)=g(x)h(x)，g与h系数都是有理数
对于g（比如g(x)=2/3x+4/9）
设其系数分母公约数为q(比如对于上式,q=9)
则